This thought from Rabbi Shulman's brother is so perfect, I'm just going to pretty much copy it straight. Unfortunately, I do not have the הגדה ישמח אב, so I will simply copy <a href="http://www.torahmusings.com/2017/03/seder-on-the-rooftops/">Gil Student's summary</a>:
We have an odd custom before הלל:
<blockquote lang=he><p>מוזגים כוס של אליהו ופותחים את הדלת:</p>
<p><b>תהילים עט:ו</b> שְׁפֹךְ חֲמָתְךָ אֶל הַגּוֹיִם אֲשֶׁר לֹא יְדָעוּךָ וְעַל מַמְלָכוֹת אֲשֶׁר בְּשִׁמְךָ לֹא קָרָאוּ׃<br/>
<b>תהילים עט:ז</b> כִּי אָכַל אֶת יַעֲקֹב וְאֶת נָוֵהוּ הֵשַׁמּוּ׃<br/>
<b>תהילים סט:כה</b> שְׁפָךְ עֲלֵיהֶם זַעֲמֶךָ וַחֲרוֹן אַפְּךָ יַשִּׂיגֵם׃<br/>
<b>איכה ג:סו</b> תִּרְדֹף בְּאַף וְתַשְׁמִידֵם מִתַּחַת שְׁמֵי ה׳׃</p>
<footer class=source><a href="http://www.sefaria.org/Pesach_Haggadah,_Barech,_Pour_Out_Thy_Wrath.1">הגדה, ברך</a></footer></blockquote>
Why open the door? Why this diatribe about הַגּוֹיִם אֲשֶׁר לֹא יְדָעוּךָ? It's very politically incorrect, but that is mostly an optical illusion. We assume the word גוֹיִם is an insult, from the Yiddish, but it's really not. The diatribe is specifically about the destruction of the בית המקדש:
<blockquote lang=he><p><b>א</b> מזמור לאסף;<br/>אלקים באו גוים בנחלתך טמאו את היכל קדשך;<br/>שמו את ירושלם לעיים׃<br/>
<b>ב</b> נתנו את נבלת עבדיך מאכל לעוף השמים;<br/>בשר חסידיך לחיתו ארץ׃<br/>
<b>ג</b> שפכו דמם כמים סביבות ירושלם; ואין קובר׃<br/>
<b>ד</b> היינו חרפה לשכנינו; לעג וקלס לסביבותינו׃<br/>
<b>ה</b> עד מה ה׳ תאנף לנצח; תבער כמו אש קנאתך׃<br/>
<b>ו</b> שפך חמתך אל הגוים אשר לא ידעוך;<br/>ועל ממלכות אשר בשמך לא קראו׃<br/>
<b>ז</b> כי אכל את יעקב; ואת נוהו השמו׃</p>
<footer class=source>תהילים פרק עט</footer></blockquote>
But that only makes the question sharper: why this? Why now? It's the seder, not Tisha B'Av!
<hr/>
To answer this, we have to look at the seder as described in the Mishna:
<blockquote lang=he><p><b>ה</b> רבן גמליאל אומר, כל שלא אמר שלושה דברים אלו בפסח, לא יצא ידי חובתו; ואלו הן--פסח, מצה, ומרורים...בכל דור ודור, חייב אדם לראות את עצמו כאילו הוא יצא ממצריים; לפיכך אנחנו חייבין להודות להלל לשבח לפאר להדר לרומם לגדל לנצח למי שעשה לנו את כל הניסים האלו, והוציאנו מעבדות לחירות. ונאמר לפניו, הללוי־ה.</p>
<p><b>ו</b>עד איכן הוא אומר--בית שמאי אומרין, עד "אם הבנים, שמחה" (תהילים קיג,ט); בית הלל אומרין, עד "חלמיש, למעיינו מים" (תהילים קיד,ח). וחותם בגאולה...ברוך אתה ה', גאל ישראל.</p>
<p><b>ז</b> מזגו לו כוס שלישי, בירך על מזונו; רביעי, גומר עליו את הלל....</p>
<footer class=source>משנה פסחים פרק י</footer></blockquote>
Why do we split הלל up like this, part before ברכת המזון and part after? הלל on the seder night is different from other times we say הלל:
<blockquote lang=he><p>אבל רבינו האי גאון ז״ל כתב בתשובה שאין מברכין על הלל שבלילי פסחים לגמור את ההלל שאין אנו קוראין אותו ב<em>תורת קורין</em> אלא ב<em>תורת אומר שירה</em> שכך שנינו ר״ג אומר וכו׳ ובסיפא לפיכך אנו חייבין להודות להלל וכו׳ לפיכך אם בא אדם לברך משתקין אותו אלו דברי הגאון ז״ל.</p>
<footer class=source>הר״ן על הרי״ף, פסחים כו,ב </footer></blockquote>
<blockquote lang=he><p>ת״ר: הלל זה מי אמרו?...חכמים אומרים נביאים שביניהן תיקנו להם לישראל שיהו אומרים אותו על כל פרק ופרק ועל כל צרה וצרה...</p>
<footer class=source>פסחים קיז,א</footer></blockquote>
<blockquote lang=en><p> The BRISKER RAV (Hilchos Chanukah 3) cites RABEINU YERUCHAM who explains that "Perek" refers to any set time during the year at which there is a special enactment to recite Hallel (the three festivals, and Chanukah). "Tzarah," on the other hand, refers to the actual moment of salvation at which the Jewish people should sing Hallel to thank Hashem for their deliverance. The source for the recitation of Hallel at the moment of salvation can be found in the BEHAG. He writes that part of the decree of the Nevi'im was for the Jews to say Hallel spontaneously whenever they, as a group, are saved from imminent peril.</p>
<p>RABEINU YONAH in Berachos says that when the Jewish people want to sing spontaneous praises to Hashem in response to a miraculous delivery from danger, they need not recite the entire Hallel. Even when they have said a blessing over Hallel, they are permitted to say as many or as few passages as they wish. They may even interrupt in the middle. In contrast, the Hallel of a "Perek" must be recited in the order of its paragraphs, and a blessing may be said only when the entire Hallel is recited.</p>
<p>[There are other differences: the Hallel of a "Perek" must be said standing, and only during the day (it is a type of עדות)]</p>
<p>The Brisker Rav explains that these differences are based on a more fundamental disparity in the underlying essence of the two types of Hallel. The "Perek" Hallel is recited as an obligation of "Keri'ah"--to read the Hallel. Its goal is to arouse one's love for Hashem through the remembrance of a miracle which He performed at a certain time in the past. In contrast, the Hallel of "Tzarah" is said as a form of praise to Hashem, or "Shirah." It is an expression of the immense love for Hashem that one feels at a time of miraculous salvation.</p>
<footer class=source><a href="http://dafyomi.co.il/pesachim/insites/ps-dt-117.htm">Insights into the Daily Daf, Pesachim 117</a></footer></blockquote>
The fact that this הלל is a שירה means that it is supposed to be the spontaneous outpouring of emotion. חייב אדם לראות את עצמו כאילו הוא יצא ממצריים; לפיכך אנחנו חייבין...[ל]אמר לפניו הללוי־ה. It doesn't have the limitations that the ritualized קריאת ההלל has. So we're <em>allowed</em> to split it up. But why do it? Why not say all of it now?
<hr/>
<blockquote lang=he><p>אמר רב משום רבי חייא: כזיתא פסחא, והלילא פקע איגרא.
מאי לאו? דאכלי באיגרא ואמרי באיגרא! לא; דאכלי בארעא ואמרי באיגרא.</p>
<footer class=source>פסחים פה,ב-פו,א</footer></blockquote>
<blockquote lang=en><p>In his recently published <i lang=he>Haggadah Yesamach Av</i> Rav Eliyahu B׃ Shulman offers a simple but fascinating historically-based explanation׃ The Gemara (<i lang=he>Pesachim</i> 85b-86a) says that in the time of the Temple Hallel split the roofs of Jerusalem׃ Even though people were not allowed to eat the Pesach sacrifice on their roofs they would eat the meal inside their homes and then go onto their roofs to sing Hallel׃ Imagine the entire city full of families singing on their roofs.</p>
...
<p>On the one hand, we need to recite Hallel over the Pesach sacrifice, which was the meal. On the other hand, people wanted to say Hallel on the roofs. Therefore, we start Hallel before the meal, say a little, eat the meal, and then finish Hallel (in Temple times on the rooftops).</p>
<footer class=source lang=en><a href="http://www.torahmusings.com/2017/03/seder-on-the-rooftops/">Gil Student, <cite>Seder on the Rooftops</cite></a></footer></blockquote>
<hr/>
<blockquote lang=en><p>Rav Shulman quotes Rav Shmuel Baruch Eliezrov, who in his <i lang=he>Devar Shmuel</i> (<i lang=he>Pesachim</i> 86a) says that his grandfather, Rav Yosef Salant, used this historical practice to explain our current practice of opening our door for “Pour out Your wrath.” The Pesach sacrifice has to be eaten in the home, with the group. Therefore, people would close their doors to ensure that everyone ate the food in the correct place. After they finished eating, they opened their doors to go up to their roofs and sing Hallel. We open our doors in commemoration of the ancient practice of singing Hallel on the rooftops.</p>
<footer class=source lang=en><a href="http://www.torahmusings.com/2017/03/seder-on-the-rooftops/">Gil Student, <cite>Seder on the Rooftops</cite></a></footer></blockquote>
<hr/>
So that nicely explains the custom of opening the doors. But what about שְׁפֹךְ חֲמָתְךָ?
<blockquote lang=en><p>Rav Shulman adds that nowadays we open our doors and see that we are in exile, not Jerusalem, and in our grief ask God to avenge our plight. </p>
<footer class=source><a href="http://www.torahmusings.com/2017/03/seder-on-the-rooftops/">Gil Student, <cite>Seder on the Rooftops</cite></a></footer></blockquote>
This is when we sing הלל של שירה. If we are truly in the moment, we should feel it. We open our doors to join with the rest of בני ישראל in ירושלים, but then we look out and see...St. Louis. We've even poured the fifth cup, for the fifth לשון גאולה:
<blockquote lang=he><p><b>ו</b> לכן אמר לבני ישראל אני ה׳ <b>1</b> והוצאתי אתכם מתחת סבלת מצרים <b>3</b> והצלתי אתכם מעבדתם; <b>2</b> וגאלתי אתכם בזרוע נטויה ובשפטים גדלים׃
<b>ז</b> <b>4</b>ולקחתי אתכם לי לעם והייתי לכם לאלקים; וידעתם כי אני ה׳ אלקיכם המוציא אתכם מתחת סבלות מצרים׃
<b>ח</b> <b>5</b> והבאתי אתכם אל הארץ אשר נשאתי את ידי לתת אתה לאברהם ליצחק וליעקב; ונתתי אתה לכם מורשה אני ה׳׃</p>
<footer class=source>שמות פרק ו</footer></blockquote>
We invoke אליהו, the harbinger of גאולה:
<blockquote lang=he><p>הנה אנכי שלח לכם את אליה הנביא לפני בוא יום ה׳ הגדול והנורא׃</p>
<footer class=source>מלאכי פרק ג:כג</footer></blockquote>
But it does no good. Our anticipation of singing הלל is dashed.
<blockquote lang="en"><p>What happens to a dream deferred?<br>
<br>
Does it dry up<br>
Like a raisin in the sun?<br>
Or fester like a sore—<br>
And then run?<br>
Does it stink like rotten meat?<br>
Or crust and sugar over—<br>
Like a syrupy sweet?<br>
<br>
Maybe it just sags<br>
Like a heavy load.<br>
Or does it explode?</p>
<footer class="source"><a href="https://genius.com/Langston-hughes-harlem-what-happens-to-a-dream-deferred-annotated">Langston Hughes, <cite>Harlem (“What happens to a dream deferred?”)</cite></a></footer></blockquote>
So we break out with this antithesis of הלל, a song not of thanksgiving but of vengeance. It only lasts for four psukim and we get back under control and realize we still need to show הכרת הטוב to ה׳ (that's the meaning of דיינו), and finish our הלל.
שְׁפֹךְ חֲמָתְךָ reminds us that we do not have a real seder. A real seder is playacting the night of יציאת מצרים, with a קרבן פסח in ירושלים. We are only playacting at the act of playacting, זכר למקדש, and for a brief moment our emotion leads us to an anti-shirah. It reminds us of how much we are missing and how much we await ביאת המשיח במהרה בימינו.